[FAQ] fr.sci.maths - partie 2/3

medtib@alussinan.org (Mehdi Tibouchi)


Archive-Name: fr/maths/maths-faq-2

Last modified: 2006-11-11
Version 2.12


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fr.sci.maths est un groupe de discussion destiné à recueillir les
discussions en français concernant les mathématiques.

Ce document rassemble les questions qui ont été fréquemment posées dans
ce forum.

Remarque sur la notation : le signe de multiplication utilisé ici est
l'astérisque *, comme souvent en informatique.

La version texte de ce document a été divisée en trois parties, afin de
faciliter sa difusion sur les forums francophones.

On trouvera,  dans cette partie, les chapitres III et IV.

Pour les chapitres I à III, se referer au document intitulé :
             "[FAQ] fr.sci.maths - partie 1/3".
Pour les chapitre VI à VII, se referer au document intitulé :
             "[FAQ] fr.sci.maths - partie 3/3".


Table des matières :

I   Contradictions.
     1. Est-ce que 0,9999... = 1 ?
     2. J'ai réussi à montrer que 2=1.
     3. Zéro puissance zéro égal un (0^0 = 1).

II  Démonstrations.
     1. Le petit théorème de Fermat.
     2. ab et a+b premiers entre eux.
     3. Irrationalité de la racine carrée de 2.
     4. Irrationalité de la racine d'un nombre premier.
     5. Irrationalité de e.
     6. Transcendance de e.
     7. Somme des puissances des premiers entiers.
     8. Les nombres et les polynômes de Bernoulli.
     9. Par combien de zéros le nombre 1998! se termine-t-il ?
    10. Expression par radicaux des racines d'un polynôme de degré n.

III Géométrie.
     1. Problème de la chèvre.
     2. Problème (dit) de Napoléon.

-+- Début de la deuxième partie -+-

IV  Énigmes.
     1. Pièces et balance, traduit par Vincent Lefèvre. 
     2. Les âges du capitaine.
     3. Quel est le nombre qui continue cette suite : 2, 12, 1112,...
     4. Probabilité que 2 personnes soient nées le même jour.
     5. Somme et produit de deux entiers.
     6. Les deux échelles.
     7. La cuve de vin.

V   Questions fondamentales.
     1. Les nombres premiers.
     2. Pi.
     3. Le grand théorème de Fermat.
     4. La conjecture de Syracuse.
     5. Les cardinaux des ensembles infinis - Partie I.
     6. Les cardinaux des ensembles infinis - Partie II. 
     7. Qu'est-ce que le nombre e ?

-+- Début de la troisième partie -+-

VI  Mathématiques et Ordinateur.
     1. Comment écrire des formules mathématiques dans les News ?
     2. Logiciels de mathématiques.
     3. L'algorithme de CORDIC sur les calculatrices.

VII Conclusion.
     1. Références.
     2. Remerciements.
     
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Changements intervenus depuis la version précédente :
  - Mises à jour ou suppression des liens morts.
  - Rééquilibrage des trois parties pour tenir dans la limite de 64ko.
  - Révision du paragraphe I.3.
  - Suppression du paragraphe VI.1 de Frédéric Bastok (double-emploi
    avec le document posté chaque quinzaine).
  - Réécriture du paragraphe VI.2 (maintenant VI.1), qui était dépassé
    et étrangement structuré.
  - Autres détails cosmétiques.

Les changements sont précédés du caractère : |

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III Problèmes de Géométrie.
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1. Problème de la chèvre.
   ----------------------

Problème
    Une chèvre est attachée par une corde de longueur l à un pieu fixé à
    un point A de la circonférence d'un enclos circulaire C de centre  O
    et de rayon R.
    Trouver l en fonction de R pour qu'elle puisse brouter au maximum la
    moitié de l'herbe de l'enclos.

Une solution :
    On trace le cercle C' de  centre  A  et  de  rayon  l  qui  coupe le
    cercle C en H et K. J est le point diamétralement opposé à A  sur le
    cercle C, et P est la projection orthogonale de O sur (AH).

    Pour obtenir l'aire S commune aux deux cercles, on additionne l'aire
    S1 du secteur AHK  du  cercle  C',  l'aire  S2  du  secteur  OHK  du
    cercle C, et on soustrait l'aire S3 du quadrilatère AHOK (qui serait
    comptée 2 fois sinon).

    On prend comme inconnue l'angle OAH = x en radians.

    On a : AK = AJ * cos x  (dans le triangle rectangle AKJ)
    d'où  l = 2*R*cos x

    S1 = (1/2)*l^2*(2*x) = x*l^2 = 4*R^2*x*(cos x)^2

    Le triangle OAH est isocèle de  sommet  O,  donc  AOH = Pi - 2*x  et
    S2 = (1/2)*R^2*2(Pi-2*x) = R^2 *(Pi-2*x)

    S3 est deux fois l'aire du triangle OAH :
    S3 = 2*OP*PA = 2* R*sin x  *  R*cos x = 2*R^2 * cos x * sin x

    L'équation à résoudre est S = Pi*R^2/2 ou encore
    S1 + S2 - S3 = Pi*R^2/2
    4*R^2*x*(cos x)^2 + R^2 *(Pi-2*x) - 2*R^2*cos x * sin x = Pi*R^2/2
    qui se simplifie en :
    2 * sin x * cos x - 2 *x * (2 * (cos x)^2 -1) = Pi/2
    En posant y = 2x :
    sin y - y * cos y = Pi/2

    y est l'angle HAK et est compris entre 0 et Pi.
    La fonction f : y --> sin y - y * cos y est continue et  strictement
    croissante sur [0 , Pi] et f(0) = 0 et f(Pi) = Pi.
    L'équation f(y) = Pi/2 admet donc une seule solution dans  [0 , Pi].

    Avec un outil de calcul, on trouve : y = 1.905695729...
    On en déduit ensuite : l/R = 2 * cos(y/2) = 1.158728473...


2. Problème (dit) de Napoléon.
   ---------------------------

Problème:
    On dit que Napoléon aurait trouvé le moyen de déterminer  le  centre
    d'un cercle en utilisant uniquement le compas.
    Quelle est la construction ?


Solution :
 Cette construction, en 6 étapes, est celle de Napoléon et Mascheroni.
 -> D'un point A du cercle , un arc de cercle de  rayon  quelconque  qui
    recoupe  le cercle en B et C
 -> arc de cercle de centre B et de rayon AB
 -> arc de cercle de centre C et de rayon AB.  Ces deux arcs se  coupent
    en D.
 -> arc de cercle de centre D et de rayon DA qui recoupe le premier  arc
    (de l'étape 1.) en E et F.
 -> arc de cercle de centre E et de rayon EA
 -> arc de cercle de centre F et rayon EA. ces deux arcs se coupent en O

    Ce classique vient  du  " dictionnaire  des  Mathématiques "  de  F.
    Le Lionnais.

    Il ne reste plus qu'à prouver que O est bien le centre du  cercle...
    ce qui n'est pas très difficile.
    Sans nier  que Napoléon  ait  quelques  qualités  de  mathématicien,
    on pense qu'il avait surtout des amis ou courtisans chez les savants
    de  l'époque  et  que  l'auteur  de   cette   belle   solution   est
    Lorenzo Mascheroni, auteur d'une "Géométrie du  compas"  célèbre  en
    son temps. C'est Monge qui a transmis le " truc " à Napoléon.

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IV Énigmes.
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1. Pièces et balance.
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Traduction de  logic/weighing/balance  des   archives   de  rec.puzzles.

Problème
    On vous donne 12 pièces qui paraissent identiques,  dont  l'une  est
    contrefaite et a un poids légèrement différent des autres  (vous  ne
    savez pas si la pièce est plus lourde ou plus légère). On vous donne
    une balance de Roberval, qui vous permet de mettre le même nombre de
    pièces de chaque côté et d'observer quel côté  (s'il y en a un)  est
    plus lourd. Comment identifier la pièce contrefaite et déterminer si
    elle est plus lourde ou plus légère, en 3 pesées?

Solution
    Martin Gardner a donné une jolie solution à ce problème.

    Supposez que vous avez le droit à P pesées. Écrivez les 3^P  chaînes
    possibles de longueur P ayant pour caractères " 0 ", " 1 " et " 2 ".
    Éliminez les 3 chaînes comportant  uniquement  un  caractère  répété
    P fois.

    Pour chaque  chaîne,  trouvez  le  premier  caractère  différent  du
    caractère le précédant. Considérez ce couple de  caractères.  Si  ce
    couple  n'est pas 01, 12 ou 20, éliminez cette chaîne.  En  d'autres
    termes, seules les chaînes de la  forme  0*01.*,  1*12.*  ou  2*20.*
    (expressions rationnelles) sont acceptées.

    Il doit vous rester (3^P-3)/2 chaînes. C'est  le  nombre  de  pièces
    que vous pouvez contrôler en P pesées.
    Associez donc chaque pièce à une chaîne de P caractères.

    Effectuez P pesées comme suit:

    Pour la pesée I, mettez d'un côté  toutes  les  pièces  ayant  un  0
    dans la chaîne en position I,  et  mettez  de  l'autre  côté  toutes
    les pièces ayant un 2 dans la chaîne en position I.

    Si le côté avec les 0 en position I est plus lourd,  écrivez  un  0.
    Si c'est l'autre côté qui est  plus  lourd,  écrivez  un  2.  Sinon,
    écrivez un 1.

    Après P pesées, vous avez écrit une chaîne de P caractères. Si votre
    chaîne correspond à une des pièces, alors c'est cette pièce qui  est
    contrefaite, et elle est plus lourde. Sinon, changez chaque 2  en  0
    et chaque 0 en 2 dans votre chaîne. Votre chaîne correspondra  alors
    à l'une des pièces, et cette pièce est plus légère que  les  autres.

    Notez que si vous devez seulement identifier la  pièce  contrefaite,
    mais pas déterminer si elle est plus lourde  ou  plus  légère,  vous
    pouvez   contrôler   (3^P-3)/2+1   pièces.   Étiquetez   la    pièce
    supplémentaire par la chaîne contenant uniquement des 1, et utilisez
    la méthode ci-dessus.

    Notez aussi que vous pouvez contrôler  (3^P-3)/2+1  pièces  si  vous
    devez déterminer si la pièce contrefaite est  plus  lourde  ou  plus
    légère, pourvu que vous ayez une pièce de référence, dont vous savez
    qu'elle a le poids correct. Vous faites ceci en étiquetant la  pièce
    supplémentaire par la  chaîne  contenant  uniquement  des  2.  Cette
    pièce est placée toujours du même côté, et ce plateau  contient  une
    pièce de plus que l'autre. Alors, placez la pièce  de  référence  de
    l'autre côté, à chaque pesée.

    Il est très facile de prouver que ceci marche,  une  fois  que  vous
    avez remarqué que la méthode  de  construction  des  chaînes  assure
    qu'à chaque position, 1/3 des chaînes ont un 0, 1/3 ont un 1, et 1/3
    ont un 2, et que si une  chaîne  est  dans  la  liste,  alors  celle
    obtenue en remplaçant chaque 0 par un 2 et chaque 2 par un 0 n'y est
    pas.

    Si vous savez déjà que la pièce contrefaite est plus lourde (ou plus
    légère), vous pouvez contrôler 3^P pièces. Avec P pesées, il ne peut
    y avoir que 3^P combinaisons d'équilibre,  plateau  de  gauche  plus
    lourd et plateau de droite plus lourd.

    L'algorithme est dans ce cas:

    Partagez les pièces en 3 groupes de même taille... A, B et C.  Pesez
    A avec B. Si un plateau tombe, il contient la  pièce  lourde,  sinon
    cette pièce est dans le groupe C. Si la taille de votre groupe est 1
    vous avez trouvé la pièce, sinon faites une recurrence sur le groupe
    contenant la pièce lourde.


2. Les âges du capitaine.
   ----------------------

Le capitaine dit à son fils:
" La cabine n°1 abrite M. DUPONT et ses deux filles. Le produit de leurs
trois âges est 2450 et la somme de leurs trois âges est égale à  4  fois
le  tien.  Peux-tu   trouver   les   âges   des   trois   passagers  ? "
Après un instant, le fils répond: " Non,  il  me  manque  une  donnée. "
Le  capitaine  ajoute  alors:  " Je  suis  plus  âgé  que  M.  DUPONT. "
Le fils  du  capitaine  en   déduit   aussitôt   les   trois   réponses.

Quel est l'âge du capitaine ? de son fils ? de M. DUPONT  ?  Quels  sont
les âges des deux filles ?

Étant donné que le produit des âges vaut 2450, c'est donc que  les  âges
des voyageurs sont des diviseurs de 2450.
Or 2450 = 1*2*5*5*7*7 (décomposition en nombres premiers)
On a alors comme âges  possibles : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 49, 50,
70,
98, 175, 245, 350, 490, 1225, ou 2450.

Il semble absurde de supposer que l'âge d'un des passagers puisse
excéder
174 ans  (quoi  que...).  Ainsi, les  âges  possibles  sont  réduits
aux
douze premiers diviseurs.

On a donc qu'un nombre fini de triplets possible :
{98,25,1} , {98,5,5} , {70,35,1} , {70,7,5} , {50,49,1} , {50,7,7},
{49,25,2} ,{49,10,5}... (je ne les écrit pas tous)

Il suffit de faire la somme de  chacun  des  triplets.  Or  le  fils  du
capitaine dit ne pas avoir assez d'indices pour trouver avec les sommes,
c'est donc qu'il existe deux sommes identiques. En effet, les   triplets
{50,7,7} et {49,10,5} ont la même somme (64 ans).

On en déduit l'âge du fils qui est de 64/4 = 16 ans.

De plus comme le capitaine est plus âgé que M. Dupont, on déduit que  M.
Dupont n'a que (sic!) 49 ans  De là ses filles ont 10 et 5 ans.
On peut également dire que le capitaine a 50 ans.

Donc
M. Dupont a 49 ans
les deux filles ont 5 et 10 ans
Le capitaine a 50 ans et
Le fils a 16 ans



3. Quel est le nombre qui continue cette suite : 2, 12, 1112...
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La construction de la suite se fait comme suit : il faut  lire  à  haute
voix les chiffres qui la composent.

On part de " 2 ", on lit un " 2 ", on écrit 12. Puis, on lit  un  " 1 ",
un " 2 " on écrit 1112. On lit trois " 1 ",  un " 2 ",  on  écrit  3112.

On peut montrer par l'absurde que le  nombre  de  signes  distincts  qui
composent cette suite se limite aux chiffres 1, 2 et 3.

   En effet, supposons qu'à une ligne on trouve le chiffre 4, suivi  par
   exemple du chiffre 1.
   Cela signifie qu'à la ligne précédente, on avait la suite  ...1111...
   C'est à dire à la ligne d'avant ...11..., que l'on aurait dû traduire
   par 21 et non 1111 comme cela a été fait. D'où contradiction.
   Il ne peut donc pas y avoir de chiffre supérieur strictement à 3.

Dans la suite, on prendra la convention :
u(0)=2
u(1)=12
u(2)=1112
etc.
Nous nommerons u(n) la valeur trouvée à l'étape n

Cette suite ne peut pas se stabiliser, et même elle tend vers l'infini.

   nous savons calculer u(n+1) en fonction de u(n) mais aussi, en  toute
   logique, u(n-1) en fonction de u(n)  (cela  paraît  évident)  qui n'a
   qu'une seule valeur possible en fonction de u(n).

   Ainsi, supposons qu'il existe m>n tels que u(m) = u(n) alors, d'après
   l'observation  précédente,  u(m-1) = u(n-1)  et  finalement  par  une
   récurrence évidente, u(m-n) = u(0) = 2.
   Or m-n>0 donc d'après la méthode de construction de la liste,  u(m-n)
   a un nombre pair de chiffres d'où une contradiction.

   Donc quels que soient m et n, u(m)<>u(n) ; soit v(n) la suite définie
   de la façon suivante :
   si il existe k tel que u(k)=n alors v(n)=k. Sinon, v(n)=0
   Quel que soit A de N, N=max(v(0)...v(N)) => (n>N => u(n)>A).
   Donc u(n) tend vers l'infini.


On peut même montrer que le nombre de 1 diverge :

   Je nomme  groupe  une suite de chiffres  faisant partie  d'une autre
   suite: non décalé (gn) si il commence par un chiffre de rang  impair
   groupe décalé (gd) si il  commence  par  un  chiffre  de  rang  pair
   (1232 est un gn de 221232 et un gd de 2221232).

   Si X et Y sont deux groupes,
   je note X -> Y si une partie de X engendre Y en  remontant  dans  les
   termes de la suite (engendrer sera toujours employé  dans  ce  sens).
   ex : 1112 (gn) -> 12
        2322 (gn) -> 3322
        2322 (gd) -> 222
   (en effet, les chiffres peuvent être groupés par  deux  lorsque  l'on
    remonte dans la suite).

   On appellera un doublet, une gn de deux chiffres.

   Deux doublets consécutifs ne peuvent pas  se  terminer  par  le  même
   chiffre (on appellera cela  une  incompatibilité  de  répétition  ir)
   le groupe 333 ne peut  pas  exister  car  il  contient  forcément  un
   doublet 33 et donc engendrera forcément 333  ce  qui  par  récurrence
   arrive à une contradiction évidente.

   le doublet 33 ne peut  donc  pas  exister.  Un  groupe  contenant  un
   doublet 33 provoquera une incompatibilité 3 (i3).

   Cherchons les gn de quatre chiffres ne  contenant  pas  de  1  et  ne
   provoquant pas d'incompatibilité (ie: pouvant exister dans la suite):
   je ne regarde pas les ir et les i3 triviales :
      2223 -> 2233 supposé compatible
      2322 -> 3322 supposé compatible
      2332 -> 33222 i3 si gn et ir si gd incompatible
      3223 -> 22233 supposé compatible
   tous les autres sont incompatibles.

   Cherchons les gn de huit  chiffres  ne  contenant  pas  de  1  et  ne
   provoquant pas d'incompatibilité (il sont constitués des gn de quatre
   chiffres compatibles):
      22232223 -> 22332233 i3 si gn donc gd
               -> 3322233 i3 dans tous les cas
      22232322 ir
      22233223 -> 223322233 i3 dans tous les cas
      23222223 ir
      23222322 -> 33223322 i3 si gn donc gd
               -> 22233222 i3 si gd et ir si gn
      23223223 ir
      32232223 -> 222332233 i3 si gd donc gn
               -> 223322233 i3 dans tous les cas
      32232322 ir
      32233223 -> 2223322233 i3 dans tous les cas

   Donc  tout   gn   de   8   chiffres   contient   au   moins   un   1.
   Cette suite tendant vers l'infini, le nombre  de  gn  de  8  chiffres
   (même sans recouvrement) tend vers l'infini.
   Donc le nombre de 1 aussi.

   On constate que la fin du code est stabilisée dès la  6ème  itération
   pour ses signes finaux.

   On note D la transformation telle que u(n+1)=D(u(n)).
   On note |X| le nombre de chiffres du groupe X.

Lemme 1 : pour n>=6, u(n) se termine par 222112 si n est  pair,  et  par
322112 si n est impair.

   par récurrence. C'est vrai  pour  n = 6.  Soit  n > 6,  supposons  la
   propriété vérifiée pour n et montrons la pour n+1.  Si  n  est  pair,
   u(n) se termine par 222112. Le chiffre précédent, s'il existe,  n'est
   pas un 2 (puisqu'on  n'a  pas  4  chiffres  identiques  consécutifs).

   Donc u(n) se termine par un bloc de trois 2, puis un bloc de deux  1,
   puis un 2, et donc u(n+1) se termine par 322112 ; n+1  étant  impair,
   c'est précisément ce qu'on attendait.
   Si n est impair, u(n) se  termine  par  322112.  Peu  importe  si  le
   chiffre précédent est un 3 ou non, seuls  les  trois  derniers  blocs
   nous intéressent, et u(n+1) se termine donc par 222112  ;  n+1  étant
   pair, c'est ce qu'on attendait.

Lemme 2 : soit x(n) la suite définie pour n>=6 par
x(6)=222112, x(7)=322112,  x(8)=3222112,  x(9)=3322112,  x(10)=23222112,
et pour n>=10, x(n+1) est égal à D(x(n)) privé de son premier chiffre.
  1. Pour tout n>=6, x(n) est un suffixe de u(n).
  2. Pour tout n>=6, x(n) est un suffixe de x(n+2).
  3. Pour n>=11, |x(n)| est impair et |x(n+2)| >= |x(n)|+2.
  4. Pour tout n, |x(n)| >= n-2.

Preuve :
   1. Par récurrence sur n, d'après la définition de u(n).
   Noter  qu'il est important  d'enlever  le premier chiffre  de D(x(n))
   pour construire x(n+1), car  le  chiffre  précédant  x(n)  dans  u(n)
   peut être identique au  premier  chiffre  de  x(n),  ce  qui  modifie
   la longueur  du  premier  bloc  ;  en  revanche,  le  second  chiffre
   de  D(x(n)),  qui  indique  la  nature  du  premier  bloc  de   x(n),
   peut être conservé car il apparaît bien à cet endroit  dans  u(n+1).
   Au passage, on peut noter que ce chiffre est toujours un 2.

   2. Par récurrence sur n.  On  le  vérifie  à  la  main  pour  n < 10.
   Pour n>=10, si x(n) est un suffixe de x(n+2),  alors  x(n+1)  est  un
   suffixe strict  de  D(x(n+2)),  donc  c'est  un  suffixe  de  x(n+3).

   3. Pour n>=11, la longueur de  x(n)  est  impaire  par  construction.
   On  montre  |x(n+2)| >= |x(n)|+2  par  récurrence.  C'est  vrai  pour
   n=11  (et  même  n=9  et  n=10).  Supposons que  |x(n+2)| >= |x(n)|+2
   pour un certain n>=11. Comme  x(n)  est  un  suffixe  de  x(n+2),  on
   peut écrire x(n+2) = wx(n), avec |w| >= 2.

   L'avant dernier  chiffre de w ne peut être égal  au  premier  chiffre
   de x(n), car il s'agit  de  deux  chiffres  consécutifs  en  position
   impaire qui sont toujours distincts dans une image par D.

   Par conséquent D(x(n+2)) contient au moins un bloc de plus que
D(x(n))
   et donc |D(x(n+2))| >= |D(x(n))|+2, d'où |x(n+3)| >= |x(n+1)|+2.

   4. Se déduit facilement des valeurs initiales et de 3.



Théorème : pour tout l>=0, il existe un entier  n0  tel  que  pour  tout
n > n0, le suffixe de longueur l de u(n) coïncide  avec  le  suffixe  de
longueur l de u(n+2).

   C'est vrai d'après le lemme 1 pour l <= 6, en prenant n0 = 6.
   Pour l supérieur  à  6,  on  prend  n0  =  l+2.  Alors  pour  n > n0,
   le suffixe de longueur l de u(n) est  un  suffixe  de  x(n),  puisque
   |x(n)| >= n-2 >= l d'après le 4. du lemme 2.

   Il coïncide donc  avec le suffixe  de longueur l  de u(n+2),  puisque
   x(n) est un suffixe de x(n+2) qui est un suffixe de u(n+2).
   ( d'après les 2. et 1. du lemme 2. )

   On  peut  formaliser  ce  résultat  en  définissant   une   topologie
   convenable  sur  l'ensemble   des   mots   finis   et   infinis   sur
   l'alphabet {1,2,3}. On peut alors montrer que la suite  u(n)  a  deux
   valeurs  d'adhérence,  qui  sont  deux  mots   infinis   à   gauche :
   ...131221121321131112111322311211132132212312211322212221121123222112
                                 et
   ...211331123113221321123113121322111213112221133211322112211213322112


Exercice : faire la même chose en regardant cette fois le début des mots
(ce qui est  plus  habituel  que  de  regarder  la  fin,  d'ailleurs !).
Cette fois, il y a 3 valeurs d'adhérence.



Enfin, on peut montrer que la  proportion  de  1  a  une  limite  finie,
qui est un nombre algébrique de degré 71.

L'idée de Conway est d'identifier un  certain  ensemble  fini  de  blocs
(qu'il nomme selon les éléments chimiques), de sorte que si x  est  l'un
de ces blocs, D(x) s'exprime  comme  concaténation  de  plusieurs  blocs
élémentaires, et de plus qu'il n'y ait jamais d'interaction entre  blocs
consécutifs, de sorte que D(xy) =  D(x)D(y).

D agit alors comme une  substitution  (i.e.  un  morphisme  de  monoïde)
sur   les   mots   formés   de   symboles   de    blocs    élémentaires,
et le nombre d'occurrences de chacun des blocs  élémentaires  peut  être
exprimé à l'aide de puissances de la matrice de la substitution.

D'où finalement une  densité  qui  s'exprime  en  fonction  des  valeurs
propres  de  cette  matrice  et   est   donc   un   nombre   algébrique.


Lire à ce sujet:
-- J.H. Conway "The weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay"
    in "Open Problems in Communications and Computation" T.M. Cover and
    B. Gopinath eds., Springer 1987
-- Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger "Proof of Conway's Lost
   Cosmological Theorem"
-- Les commentaires d'un mathématicien,  de Jean-Paul Delahaye in  "Pour
   la Science", Janvier 1996, p.100 et suivantes.

Voir, entre autres (Warning, in english) :
http://www.univie.ac.at/EMIS/journals/ERA-AMS/1997-01-011/1997-01-011.html
http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/horton.html


4. Probabilité que 2 personnes soient nées le même jour.
   -----------------------------------------------------

On réunit dans une pièce n personnes.  On veut determiner,  d'une  part,
quelle est la probabilité que deux de ces personnes soient nées le  même
jour et d'autre part, à partir de combien de personnes il y a plus d'une
chance sur deux que l'événement cherché soit réalisé. 
Enfin, on s'intéressera aux différentes méthodes de calcul et à ce qu'il
se passe quand les dates de naissance ne sont pas équiprobables.


 a) Toutes les dates de naissance sont équiprobables.
   On supposera dans un premier temps  que les dates d'anniversaire  ont
   la même probabilité d'apparition.
   La bonne solution, comme souvent en probabilités, consiste à calculer
   la  probabilité  de  l'événement  complémentaire.  C'est à dire qu'on
   s'intéresse à la probabilité qu'il n'y  ait  aucune  coïncidence  des
   dates d'anniversaire dans un groupe de n personnes.

   En effet, la probabilité  d'un événement additionnée  à celle  de son
   complémentaire est égale à 1.  Donc la probabilité de l'événement est
   égale à un moins la probabilité de son complémentaire.

   Le nombre total de cas possibles est 365 à la puissance n noté 365^n.
   Le nombre de cas favorables est le nombre  de  choix  ordonnés  de  n
   dates parmi 365, soit:  365! / (365-n)!
   Donc,  la probabilité qu'il  n'y  ait  aucune  coïncidence  de  dates
   d'anniversaire est :
   365! / ((365-n)! * 365^n ) = produit[(365 - i)/365 , pour i=0 à n-1]
                              = produit[1 - i/365 , pour i=0 à n-1]

   La probabilité P(n) qu'il y ait au moins une coïncidence est donc :
	P(n) = 1 - produit[1 - i/365 , pour i=0 à n-1]

   Il existe d'autres solutions, par exemple, la suivante.
   On nomme A, B etc. les personnes de l'assistance.  Alors,  il y a une
   coïncidence si A a le même anniversaire que B, ou que C,... Ou encore
   si B a le même anniversaire que C, etc.
   Le problème de cette méthode,  c'est qu'il faut ensuite  calculer  la
   probabilité d'une union d'événements qui ne sont pas disjoints.
   Il faut faire  la somme des probabilités des évènements,  en  enlever
   la somme des intersections 2 à 2,  ajouter la somme des intersections
   3 à 3, etc. (c'est la formule de Poincaré). C'est long et pénible.


 b) A partir de quelle valeur de n cette probabilité dépasse-t-elle 1/2 ?
    La seule solution est de calculer la  probabilité  pour  différentes
    valeurs de n, et de rechercher la première valeur de P(n)  dépassant
    1/2. Cette valeur est 23. En effet, on trouve par le calcul:
       P(22)=0.4756953077
       P(23)=0.5072972343


 c) Les différentes méthodes de calcul pratique
    Si on veut calculer brutalement le nombre : 365! /((365-n)! * 365^n)
    avec une machine à calculer, on obtient un dépassement de capacité.
    Il faut donc réfléchir un peu pour faire le calcul, en tenant compte
    des possibilités informatiques.

 -- Si on dispose d'un logiciel de calcul mathématique, tel que Maple ou
    Mathématica, le problème de dépassement de capacité disparaît, et on
    utilise n'importe laquelle des expressions ci-dessus.
 -- Si on dispose d'une calculatrice programmable,  il est  possible  de
    programmer, avec une boucle, le calcul de l'expression :
         produit[1 - i/365 , pour i=0 à n-1]
    Comme cette programmation dépend de la calculatrice  et  du  langage
    utilisés, il est difficile d'en dire plus.
 -- Si l'on dispose d'un tableur, l'expression :
    produit[1 - i/365 , pour i=0 à n-1] est facile à calculer en faisant
    un tableau de taille n, avec 3 colonnes :
          une colonne pour i,
          une colonne pour 1 - i/365,
          une colonne pour le produit.
 -- Si l'on n'a qu'une calculatrice  scientifique,   il  est  nécessaire
    d'utiliser une approximation. Il faut remarquer que 
    produit[1 - i/365 , pour i=0 à n-1]
                          = exp(somme[log(1 - i/365) , pour(i=0 à n-1)])
    Or, si n est beaucoup plus petit que 365, on a :
                            log(1 - i/365) ~ -i/365
    Et comme la somme des n premiers entiers est égal à n*(n+1)/2.
    On a donc : produit[1 - i/365 , pour i=0 à n-1] ~ exp( -n*(n-1)/730)
    Cette approximation est relativement précise. Elle donne les valeurs
    suivantes pour P(22) et P(23),  ce qui donne  une réponse juste pour
    la question (2) malgré la très forte proximité de P(23) avec 1/2 :
       P(22) ~ 0.4689381108
       P(23) ~ 0.5000017522


 d) Probabilités inégales pour les dates de naissance
    Nous avons jusque là supposé  que  toutes  les  dates  de  naissance
    étaient de même probabilité. Que se passe-t-il si  on  se  passe  de
    cette hypothèse ?

    Les probabilités de coïncidence d'anniversaire sont augmentées. Cela
    paraît  assez  naturel  puisque,  si  ces  probabilités  sont   très
    concentrées,  par  exemple  sur  une  seule  date  dans  l'année, la
    probabilité de coïncidence se rapproche de 1.

    La difficulté de cette question tient au fait que l'on ne  peut  pas
    faire varier n'importe  comment  les  probabilités  des  différentes
    dates de naissance. En effet, il faut que la  somme  de  toutes  ces
    probabilités fasse 1.

    Notons p_i la probabilité de naissance le jour i et A l'ensemble des
    jours de l'année. Alors la probabilité de non-coïncidence est :
                 ______   _____
                 \         | | 
                  )        | |   p_i
                 /         | | 
                 ------  i dans S
                S inclus 
                dans A tel que
                card(S)=n

    On s'intéresse aux jours 1 et 2. Les ensembles de cardinal  n inclus
    dans A peuvent être classés en 3 catégories:
	les ensembles ne contenant ni 1 ni 2,
	les ensembles contenant 1 ou 2, mais pas les deux,
	les ensembles contenant 1 et 2.
    On note A' l'ensemble A, moins les éléments 1 et 2. 
    La somme ci-dessus peut être réécrite :
 _____  _____              _____  _____             _____  _____
 \       | |               \       | |              \       | | 
  )      | | p_i +(p + p )* )      | | p_i + p * p * )      | | p_i
 /       | |        1   2  /       | |        1   2 /       | | 
 -----  i dans S           -----  i dans S          -----  i dans S
S inclus                  S inclus                  S inclus
dans A' tel que           dans A' tel que           dans A' et que
card(S)=n                 card(S)=n-1               card(S)=n-2

    Supposons que p1 et p2 soient différents, et montrons que l'on  peut
    augmenter la probabilité de non-coïncidence.  On remplace p1  et  p2
    par (p1 + p2)/2.

    Le premier des 3 termes ci-dessus n'est pas modifié,  puisque  ni p1
    ni p2 n'y apparaissent. Le second non plus, car il ne dépend que  de
    p1+p2. En revanche, le troisième terme est augmenté, car on remplace
    p1*p2 par ((p1 + p2)/2)^2 qui est plus grand.

    Donc, si les p_i sont différents,  la probabilité de non-coïncidence
    n'est pas maximale.

    Par la suite, on démontre  qu'une fonction continue  sur un ensemble
    fermé borné atteint son maximum.  Or, l'ensemble des vecteurs formés
    de 365 probabilités,  dont la somme  fait 1,  est un  ensemble fermé
    borné. Donc le maximum de la probabilité de coïncidence est atteint.
    Il ne peut être atteint que si tous les pi sont égaux,  qui est donc
    le maximum.  Donc, la probabilité de non coïncidence est maximale si
    les probabilités de jours de naissance sont égales.

    Par conséquent,  si les probabilités sont égales,  la probabilité de
    coïncidence d'anniversaire est minimale.


5. Somme et produit de deux entiers.
   ---------------------------------

a) Enoncé.

 Un prof de maths  donne  un problème  à résoudre  à ses  deux meilleurs
 élèves, Pierre et Sophie.  Il donne à Pierre le produit de deux nombres
 entiers compris  (au sens large)  entre 2 et 100,  et à Sophie la somme
 des deux mêmes nombres,   puis il leur demande s'ils peuvent déterminer
 quels étaient les nombres de départ.

 Pierre: Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres.

 Sophie: Je le savais.

 Pierre: Dans ce cas, je connais les deux nombres.

 Sophie: Alors moi aussi.

 Sachant que  les deux élèves  sont d'excellents logiciens  et que leurs
 quatre déclarations  étaient rigoureusement exactes,  saurez-vous  être
 aussi  futés  qu'eux,  et  trouver  les  deux  nombres  choisis  par le
 professeur ?

b) Commentaires.

 L'énoncé tel qu'il est présenté ici est le plus proche de ce qui est en
 général posé dans news:fr.sci.maths. Malheureusement, il lui manque des
 précisions importantes  sur ce que le prof de maths  dit  effectivement
 aux élèves.

 D'abord, il n'est pas précisé que Pierre sait que Sophie a la somme, et
 que  Sophie  sait  que  Pierre  a  le  produit.  Bon,  d'accord,  c'est
 « évident ».  Mais il y a un autre point qui semble  « évident »  alors
 qu'il est souvent source d'erreurs de raisonnement.

 Cet autre point,  c'est  que  l'on ne  sait pas  si  Pierre  et  Sophie
 connaissent  la valeur minimum  (2)  et   la valeur maximum  (100)  des
 nombres de départ. Pour ce qui est de la valeur minimum, il faut qu'ils
 la connaissent ; sinon, le problème est impossible  (par exemple, s'ils
 pensent  que les nombres commencent  à 1  au lieu de 2,  alors la seule
 solution serait  1 et 4,  qui ne rentre pas dans le cadre de l'énoncé).
 En ce qui concerne la valeur maximum, les deux cas sont possibles (soit
 ils connaissent  la limite,  soit  ils  ne la connaissent pas),  ce qui
 donne deux problèmes différents, intéressants tous les deux.

c) Solutions.

 Puisqu'il y a deux interprétations possibles de l'énoncé,  il y a aussi
 deux solutions  distinctes.  La première  (c.1)  suppose que  Pierre et
 Sophie savent que les nombres sont compris entre 2 et 100, alors que la
 seconde  (c.2)  suppose  qu'ils savent  seulement  que les nombres sont
 supérieurs ou égaux à  2.  Néanmoins,  la méthode utilisée  est la même
 dans les deux cas,  à savoir  prendre chacune des  4  affirmations dans
 l'ordre,  et en déduire des informations précieuses sur les sommes S et
 produits P possibles.

c.1) Solution dans le premier cas (valeur maximum connue, égale à 100).

 Pierre: Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres.

 Ceci signifie  que  le produit  P  peut  se décomposer  d'au moins deux
 manières différentes en produit de deux nombres compris entre 2 et 100.
 Par exemple,  on pourrait avoir  P = 75, car ce produit se décompose en
 3*25  ou  5*15,  mais  on  ne  peut  pas  avoir  P = 77  car  alors  la
 décomposition serait unique : 7*11.

 Voici une liste  de valeurs  que  nous pouvons d'ores et déjà éliminer:
 - toute valeur inférieure à 4 ou supérieure à 10000
 - le produit de deux nombres premiers (par exemple 77 = 7*11)
 - le cube d'un nombre premier (par exemple 125 = 5*25)
 - le  double  du carré  d'un premier  plus grand que 10  (par  exemple,
   242 = 2*11*11 = 11*22 : la décomposition en 2*121 est impossible)
 - un multiple strict d'un nombre premier plus grand que 50 (par exemple
   318 = 6*53)
 - le produit  du carré  d'un premier  plus grand que  10  par un nombre
   premier  (par exemple  242 = 2*11*11 = 11*22 ;  la  décomposition  en
   2*121 est impossible)
 - et bien d'autres...

 ---

 Sophie: Je le savais.

 Ceci signifie que la somme  S  ne peut pas s'écrire comme somme de deux
 nombres dont le produit aurait été éliminé dans l'étape précédente.
 
 Par exemple,  la somme 11 convient car tous les produits possibles sont
 "non uniques" :
  11 = 2+9 ; 2*9 = 18 = 3*6
  11 = 3+8 ; 3*8 = 24 = 2*12 = 4*6
  11 = 4+7 ; 4*7 = 28 = 2*14
  11 = 5+6 ; 5*6 = 30 = 2*15 = 3*10

 En revanche, la somme 13 ne convient pas car :
  13 = 2+11 ; 2*11 = 22 (pas d'autre décomposition)

 Par conséquent,  on peut commencer  par éliminer  toutes  les sommes de
 deux  nombres  premiers.  Vous pouvez  vérifier  que cela élimine  déjà
 toutes  les sommes  paires  (ceci a été conjecturé par Goldbach dans le
 cas général, et vérifié par ordinateur sur beaucoup plus de nombres que
 ce  dont  on a besoin pour résoudre  ce problème).  Pour ce qui est des
 sommes impaires,  on élimine celles qui sont égales à un nombre premier
 plus 2: 5 (3+2), 7(5+2), 9(7+2), 13 (11+2), etc.

 Après ce premier débroussaillage,  il  nous  reste les sommes  qui sont
 égales  à un nombre composé impair plus 2 : 11 (3*3 + 2), 17 (3*5 + 2),
 23 (3*7 + 2), 27 (5*5 + 2), 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, etc.

 Nous pouvons  aussi  supprimer  toutes  les sommes  S  à partir de  57,
 puisque :
  si 57 <= S <= 153, on peut écrire S = 53 + n, avec 4 <= n <= 100,
  si 155 <= S <= 197, on peut écrire S = 97 + n, avec 58 <= n <= 100,
  si S = 199, on peut écrire S = 100 + 99.
 Dans chacun de ces trois cas,  le produit P correspondant  (soit 53*n,
 soit 97*n, soit 100*99) a une décomposition unique.

 On peut  enfin supprimer  la somme  S = 51 = 17 + 34,  car  le produit
 P = 17*34 n'a pas d'autre décomposition.

 Voici  donc  la liste exhaustive des sommes possibles à cette étape du
 raisonnement, avec pour chaque somme la liste des produits possibles.

  11 : 18 24 28 30
  17 : 30 42 52 60 66 70 72
  23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
  27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
  29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
  35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
  37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340
       342
  41 : 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408
       414 418 420
  47 : 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510
       522 532 540 546 550 552
  53 : 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612
       630 646 660 672 682 690 696 700 702

 ---

 Pierre: Dans ce cas, je connais les deux nombres.

 Pour que Pierre puisse faire cette affirmation, il faut que le produit
 P  se trouve une fois  et  une seule  dans  la liste  que  nous venons
 d'écrire. Cela élimine donc les produits P = 30 (S = 11 ou 17), P = 42
 (S = 17 ou 23), etc. Il reste:

  11 : 18 24 28
  17 : 52
  23 : 76 112 130
  27 : 50 92 110 140 152 162 170 176 182
  29 : 54 100 138 154 168 190 198 204 208
  35 : 96 124 174 216 234 250 276 294 304 306
  37 : 160 186 232 252 270 336 340
  41 : 114 148 238 288 310 348 364 378 390 400 408 414 418
  47 : 172 246 280 370 442 480 496 510 522 532 540 550 552
  53 : 240 282 360 430 492 520 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696
       700 702

 ---

 Sophie: Alors moi aussi.

 Pour que Sophie  puisse dire cela,  il  faut qu'il ne reste plus qu'un
 seul  produit  correspondant  à la somme qu'elle connaît.  Ceci  n'est
 réalisé  que si la somme est  17,  auquel cas le produit est  52.  Les
 nombres de départ sont donc 4 et 13.

c.2) Solution dans le second cas (valeur maximum inconnue).

 Pierre: Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres.

 Ceci signifie que le produit n'est pas le carré ou le cube d'un nombre
 premier,  ni le produit de deux nombres premiers. Nous ne pouvons rien
 en déduire de plus pour le moment.

 ---

 Sophie: Je le savais.

 Comme dans le premier cas,  nous pouvons éliminer toute somme paire et
 toute somme d'un nombre premier avec  2,  et  il nous reste les sommes
 égales à un nombre composé impair  plus  2.  Contrairement  au premier
 cas,   nous  ne  pouvons   éliminer  aucune  autre  somme.   La  liste
 (incomplète) des sommes et produits possibles est la suivante:

  11 : 18 24 28 30
  17 : 30 42 52 60 66 70 72
  23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
  27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
  29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
  35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 ...
  37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 ...
  41 : 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 ...
  47 : 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 ...
  ...

 ---

 Pierre: Dans ce cas, je connais les deux nombres.

 Comme tout-à-l'heure,  nous éliminons les produits  P  qui se trouvent
 plus d'une fois dans la liste. Il reste  (liste exhaustive pour toutes
 les sommes inférieures à 200) :

  11  : 18 24 28
  17  : 52
  23  : 76 112
  27  : 50 92 140 152 176
  29  : 54 100 208
  35  : 96 124 216 304
  37  : 160 232 336
  41  : 148 288 400
  47  : 172 280 496
  51  : 98 144 188 308 344 608 620 644
  53  : 520 592
  57  : 212 260 392 656 800
  59  : 220 688
  65  : 244
  67  : 192 472 1116
  71  : 268 448 880
  77  : 292 832 976
  79  : 228 568 1504
  83  : 316 1072 1216
  87  : 332 632 836 1136 1340 1472 1880
  89  : 1168
  93  : 356 1040 1856 1952
  95  : 1264 1984
  97  : 712 1296
  101 : 388 1144 2368 2440
  107 : 412 2752
  113 : 436 1552
  117 : 452 872 1616 3392
  119 : 1648 2728
  121 : 904 2848
  123 : 242 476 1712 3440 3776
  125 : 484 1744 3904
  127 : 1776
  131 : 384 508 3784 4288
  135 : 266 524 896 1016 1904 2996 3296 3956 4544
  137 : 4672
  143 : 556 2032 4120 5056
  145 : 1096 2176 3616
  147 : 290 1112 1496 2096 2432 3680 4280 5312
  155 : 604 2224
  157 : 1192 3712
  161 : 628 2320 6208 6424
  163 : 4192
  167 : 652 2416 5080 6592
  171 : 338 668 1304 2480 2888 3020 3404 3888 4448 5240 5504 6848 6968
        7100 7304
  173 : 2512 6976
  177 : 692 3140 7232
  179 : 2608
  185 : 724
  187 : 1432 7552
  189 : 374 1448 2768 2924 5024 5624 7208 7448 7808
  191 : 8128
  197 : 772 2896

 ---

 Sophie: Alors moi aussi.

 Ici encore,  il doit rester  un  seul produit sur la ligne de la somme
 correspondant à ce qu'a  Sophie.  Là encore,  les nombres 4 et 13 sont
 solution  (S=17,  P=52),  mais ce ne sont plus les seuls.   Les autres
 solutions sont:  4 et 61 (S=65, P=244), 16 et 73 (S=89, P=1168), 64 et
 73 (S=137, P=4672).  Bien évidemment, on ne tiendra pas compte des cas
 où l'un des nombres est plus grand que 100,  par exemple pour S=127 et
 P=1776: les nombres seraient 16 et 111.


6. Les deux échelles.
   ------------------

a) Enoncé.

Deux échelles se croisent dans une cour rectangulaire.  Les échelles
mesurent respectivement 10 et 14m.  Vues de côté, elles se croisent à 5m
du sol. On suppose les échelles droites et sans épaisseur.
Quelle est la largeur de la cour ?

b) Solution.

On appelle :
- BF l'échelle qui va du haut à gauche au bas à droite (B en haut à
  gauche) ;
- EA l'échelle qui va du bas à gauche au haut à droite (E en bas)
- I le point d'intersection des deux échelles,
- H la projection orthogonale de I sur le sol.

             |             |A
             |            /|
             |           / |
             |          /  |
             |         /   |
             |        /    |
            B|       /     |
             |\_  I /      |
             |  \_ /       |
             |    \_       |
             |   /| \_     |
             |  / |   \_   |
             | /  |     \_ |
            E+/---|-------\+F
                  H
On pose :
AF = x ; EF = y ; BE = z ;
AE = a ; BF = b ; IH = c ;

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle FAE rectangle en F.
AF^2 + EF^2 = AE^2. C'est à dire : x^2 + y^2 = a^2.

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle FEB rectangle en E.
EF^2 + BE^2 = BF^2. C'est à dire :  y^2 + z^2 = b^2.

On applique le théorème de Thalès avec les parallèles (BE), (IH) et (AF).
c/x + c/z = EH/EF + HF/EF = (EH + HF)/EF = 1, d'où c/z = (x-c)/x

Il vient donc : x^2 - z^2 = a^2 - b^2  et z = c*x/(x-c)
Et puis : x^2 - (c*x/(x-c))^2 = a^2 - b^2

ce qui conduit à
x^4 - 2 * c * x^3 - (a^2 - b^2) * x^2 +2 * c * (a^2-b^2) * x
                                                    - c^2 * (a^2-b^2)=0
Cette équation de degré 4 se résout par radicaux ou de manière approchée
avec tout outil de calcul.

On a ensuite : y = sqrt(a^2 - x^2).

On a ici : a = 14, b = 10, c = 5, d'où l'équation :
               x^4 - 10 * x^3 - 96 * x^2 + 960 * x - 2400 = 0

Et donc :
x = 12.78405 avec un outil de calcul
Puis y = sqrt(a^2-x^2) = 5.706842.


7. La cuve de vin.
   ---------------

Problème :
  Du vin est placé dans une cuve cylindre horizontale de longueur L est
  de rayon R. On mesure la hauteur h de vin dans la cuve, et on veut en
  déduire le volume v de vin.
  
Une solution :
  On peut s'en sortir avec un peu de calcul intégral. Si l'on considère
  un axe vertical dont l'origine est placée à la hauteur du centre du
  cylindre, alors la section du cylindre à la hauteur z a pour aire
  a(z) = 2*sqrt(R^2-z^2)*L.
  Par conséquent, on a : v = int(-R..h-R, a(z)dz)
  
  L'intégrale se calcule par le changement de variable z = R*sin t. On a
  alors successivement, en notant x = h/R - 1 (x=-1 lorsque la cuve est
  vide, x=0 à mi-hauteur et x=1 quand elle est pleine) :
  
  v = int(-pi/2..Arcsin x, 2L*R^2*cos^2 t dt)
  v = L*R^2*int(-pi/2..Arcsin x, (1+cos 2t)dt)
  v = L*R^2*[Arcsin x + sin(2*Arcsin x) - (-pi/2 + sin(-pi)]
  
  Finalement, si l'on appelle v0 = pi*R^2*L le volume total de la cuve,
  on obtient le taux de remplissage :
  
  v/v0 = [Arcsin x + x*sqrt(1-x^2) + pi/2]/pi, ou plus simplement
  v/v0 = [x*sqrt(1-x^2) + Arccos(-x)]/pi
  
  Voici quelques valeurs :
    x   -1.00 -0.75 -0.50 -0.25  0.00  0.25  0.50  0.75  1.00
  v/v0     0%    7%   20%   34%   50%   66%   80%   93%  100%
  
  À noter que la formule ne s'inverse pas simplement (i.e. il n'y a pas
  d'expression élémentaire de h en fonction de v), donc si c'est le
niveau
  de vin que l'on cherche, le plus simple est de résoudre l'équation
  numériquement. On trouve par exemple :
  
  v/v0    10%   20%   30%   40%   50%   60%   70%   80%   90%
    x   -0.69 -0.49 -0.32 -0.16 -0.00  0.16  0.32  0.49  0.69


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                 [FAQ] fr.sci.maths - partie 1/3
                 [FAQ] fr.sci.maths - partie 3/3
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